Теорія ігор щодо аналізу діяльності фірми

Процес прийняття управлінських рішень досить складний і багато­гранний. Він залежить від кваліфікації керівника, кадрового складу робітників, рівня організаційної діяльності фірми. Схема прийняття управлінських рішень має певну послідовність: розпізнавання проблеми, встановлення цілей розв’язання проблеми, вивчення проблеми за допомогою збирання та оброблення інформації, обґрунтування реаліс­тичних альтернативних дій, порівняння та відбір альтернатив, формулю­вання та видавання рішень [5].

Одним з основних методів прийняття рішень в умовах невизна­ченості інформації є теорія ігор.

Теорія ігор - теорія математичних моделей Прийняття оптималь­них рішень в умовах конфлікту. Оскільки сторони, що беруть участь в більшості конфліктів, зацікавлені в тому, щоб приховати від конкурента власні наміри, то більшість конфліктних ситуацій виникає в умовах невизначеності, а невизначеність, в свою чергу, спонукає до конфліктних ситуацій.

Теорія ігор намагається математично показати поведінку в страте­гічних ситуаціях, в яких успіх суб'єкта, що робить вибір залежить від вибору інших учасників.

Логічною основою теорії ігор є формалізація трьох понять, які входять в її визначення і є фундаментальними для всієї теорії:

Конфлікт,

Прийняття рішення в конфлікті,

Оптимальність прийнятого рішення.

Ці поняття розглядаються в теорії ігор у найширшому сенсі. Їх формалізації відповідають змістовним уявленням про відповідні об'єкти.

Конфліктом можна вважати будь-яку ситуацію, відносно якої її учасники мають серйозні розбіжності в одержанні результатів вирішення даної ситуації.

Учасників конфлікту називають коаліціями дії (їх множина позна­чається як Яо, можливі дії кожної із коаліції дії - її стратегіями (множина всіх стратегій коаліції дії К позначається як 5), результати конфлікту - ситуаціями (множина всіх ситуацій позначається як 5; вважається, що кожна ситуація складається внаслідок вибору кожної із коаліцій дії деякої

Своєї стратегії, так, що 5 с П5к ), зацікавлені сторони - коаліціями

КєЯ

Інтересів (їх множина - Я,) і, нарешті, говорити про можливі переваги для кожної коаліції інтересів К однієї ситуації У перед іншою s" (^s"), то

Конфлікт в цілому може бути описаний як система [6]:

Г = ,5К є,5,Я,,{^К є Я,). (9.1)

Така система називається Грою. Конкретизації складових, що задають гру, призводять до різноманітних класів ігор.

Якщо в грі є лише одна коаліція дії К, можна вважати, що множина ситуацій 5 співпадає з множиною стратегій 5К. Такі ігри називаються нестратегічними. До них відносяться ігри без побічних платежів І класичні кооперативні ігри. Якщо в грі множини коаліцій дії та коаліцій інтересів співпадають (Яо = Я,; в цьому випадку і ті, і інші коаліції

Називаються гравцями), 5 = П5 , а відношення переваги називаються

Ієі

Функціями виграшу, то отримуємо безкоаліційні ігри.

Для підприємств малого та середнього бізнесу характерні безкоалі - ційні ігри.

Окремими класами безкоаліційних ігор є:

1) Антагоністичні ігри - ігри з двома гравцями, які мають прямо протилежні інтереси. Формально, ця протилежність (антагоністичність), виявляється в тому, що в разі переходу від однієї ситуації до іншої збільшення (зменшення) виграшу одного гравця тягне за собою зменшення (збільшення) виграшу іншого. Таким чином, сума виграшів гравців в будь-якій ситуації в антагоністичних іграх постійна (як правило, можна
вважати, що вона дорівнює нулю). Тому, антагоністичні ігри називають, також, іграми двох осіб з нульовою сумою (іноді - нульовими іграми).

Антагоністичні ігри в нормальній формі задають системою Г = <А, В, Н>, де А, В - множини стратегій першого та другого гравців відповідно, Н - функція з дійсними значеннями, визначена на всій множині ситуацій А х в, яка є функцією виграшу першого гравця (за визначенням, функція виграшу другого гравця дорівнює - Н). Процес розігрування антагоністичних ігор полягає в виборі гравцями деяких своїх стратегій а є А, Ь є В, після чого перший гравець отримує від другого суму Н(а, Ь).

Розумна поведінка гравців в антагоністичних іграх відбувається на основі принципу максиміну. Якщо

ТахМН(а Ь) = ті^ирн(а Ь). (9.2)

АєА ЬєВ ЬєВ аєА

Якщо множини А та В скінченні, то антагоністична гра називається Матричною грою; для неї завжди існують оптимальні змішані стратегії у обох гравців. Якщо ж одна із множин А або В нескінченна, то антагоністична гра називається нескінченною.

Принцип максиміну для нескінченних антагоністичних ігор може здійснюватись (якщо рівність (9.2) не має місця) у вигляді рівності:

Supinfн(а, Ь) = і^8ирн(а, Ь). (9 3)

ЬєВ ЬєВ - V ' /

В такому випадку оптимальної стратегії для гравців не існує, однак для будь якого є > 0 існують є-оптимальні стратегії (тобто, стратегії, які забезпечують досягнення значення гри з заданою точністю є) у обох гравців.

Якщо обидві множини А та В нескінченні, то оптимальні змішані стратегії (і навіть є-оптимальні) не завжди існують. Наприклад, в грі з функцією виграшу

1, а)Ь

(9.4)

Н(а, Ь) = <! 0, а = Ь -1, аф

Де стратегіями гравців є множини натуральних чисел;

2) Динамічні ігри - гра п гравців, у вигляді процесу, який розвива­ється протягом деякого часу, в якому гравці послідовно приймають часткові рішення, переходячи від одного стану гри, до іншого. Динамічні ігри, в яких гравці приймають рішення в дискретні моменти часу, описуються наступною схемою [1]:

Задається множина станів X, для кожного хєX множини 51(л)

П

Елементарних стратегій гравців і (і = 1, 2, п) (множина 5 (х) = П 5 (X)

І=1

Визначається як простір елементарних станів s(x1)єБ(х1)), початковий стан гри х1 єX і функції ^(хь s(x1), хк-1, s(xk.1), хк), які за фіксованого хк вимірні за рештою своїх аргументів, а за фіксованих хь s(x1), ..., хк-1, s(xk.1) є імовірнісними розподілами на X.

Партія гри Р = (хь 5-(хь х2, s(x2), ...) визначається індуктивно.

В початковому стані х1 кожний гравець і обирає елементарну стратегію ^ є 5і(хі), внаслідок чого утворюється елементарна ситуація ^(х1) є 5(х1). Стан х2 є X обирається відповідно до розподілу ^(хь s(x1), х2). Якщо визначений відрізок партії рк = (х1, в(х1), ..., хк-1, в(хк-1), хк), то аналогічно утворюється елементарна ситуація ф-к) є 5(хк), після чого наступний стан хк+1 є X обирається відповідно до розподілу ^+1 = (хь s(x1), ..., хк, ^(хк), хк+і).

На кожній партії Р визначений виграш Иі(Р) гравця і (і = 1, 2, ..., п).

Стратегія / гравця і - це набір функцій {£к}. Функція$ (к = 1, 2, ...) кожному відрізку партії рк довжини к ставить у відповідність елементарну ситуацію ^(хкє 5і(хк).

Динамічна гра визначена, якщо кожна ситуація індукує ймовірнісну Міру ^ на множині всіх партій. В цьому випадку, виграш гравця і в ситуації f визначається як математичне очікування Иі(Р) за мірою

Н (/) = {Ь(Р)^(Р); (9.5)

3) Рекурсивні ігри - різновид динамічної гри. В рекурсивній грі вибір стратегій гравцями на кожному кроці визначається розподілом Імовірностей Підігор, які розігруються на наступному кроці, або закін - чення партії. Виграші учасників залежать лише від останньої розіграної підігри. Так як ймовірність того, що партія ніколи не закінчиться відміною від нуля, мають бути визначені виграші гравців у випадку нескінченної партії.

Аналіз будь якої стохастичної гри може бути зведено до аналізу деякої рекурсивної гри. Але через можливість нескінченних партій до­слідження рекурсивних ігор, в загальному випадку, складніше, ніж дослідження стохастичних ігор.

Згідно з теорією Еверетта [6], будь яка така гра має значення і обидва гравці мають є-оптимальні стратегії;

4) стохастичні ігри — різновид динамічної гри. В стохастичній грі вибір гравцями альтернатив на кожному кроці визначає як виграш на цьому кроці, так і розподіл ймовірностей Підігор, які доведеться розігрувати на наступному кроці. При цьому, на кожному кроці, за будь - якого вибору гравцями альтернатив, існує ненульова ймовірність закінчення партії. За цієї умови партія з ймовірністю, яка дорівнює одиниці, закінчується за скінченну кількість кроків.

Слід особливо підкреслити, що теорія ігор є дуже складною областю знань. В разі звернення до неї треба дотримуватися обережності і чітко знати межі застосування. Прості тлумачення, що приймаються фірмою самостійно або за допомогою консультантів, мають приховану небезпеку. Аналіз і консультації на основі теорії ігор через їх складність рекомендуються лише для особливо важливих проблемних областей. Досвід фірм показує, що використання відповідного інструментарію переважає за умови ухвалення одноразових, принципово важливих планових стратегічних рішень, зокрема, під час підготовки великих коопераційних договорів [10].